Indici di efficacia del glucosio e insulino-resistenza (ricavati dalle equazioni del modello minimo della cinetica del glucosio)
MODELLO MINIMO DELLA CINETICA DEL GLUCOSIO
Equazioni del modello minimo della cinetica del glucosio:
d(G(t))/dt = - (p1 + X(t))*G(t) + p1*Gb (1)
d(X(t))/dt = - p2*X(t) + p3 [I(t) - Ib ] (2)
Condizioni iniziali:
G(0) = Gb + D/V
I'(0) = 0
Ipotesi sperimentali:
D/V = effetto della somministrazione di glucosio endovena
[I(t) - Ib] = ingresso
G(t) = Q(t)/V --> uscita
Sostituzioni effettuate:
X(t) = (k4 + k6)*I'(t)
p1 = k1 + k5
p2 = k3
p3 = k2*(k4 + k6)
Parametri incogniti:
p1, p2, p3, V
d(G(t))/dt = - (p1 + X(t))*G(t) + p1*Gb (1)
d(X(t))/dt = - p2*X(t) + p3 [I(t) - Ib ] (2)
Condizioni iniziali:
G(0) = Gb + D/V
I'(0) = 0
Ipotesi sperimentali:
D/V = effetto della somministrazione di glucosio endovena
[I(t) - Ib] = ingresso
G(t) = Q(t)/V --> uscita
Sostituzioni effettuate:
X(t) = (k4 + k6)*I'(t)
p1 = k1 + k5
p2 = k3
p3 = k2*(k4 + k6)
Parametri incogniti:
p1, p2, p3, V
EFFICACIA DEL GLUCOSIO (Sg)
Con questa parametrizzazione il modello è identificabile e ci permette di calcolare la capacità del glucosio di promuovere il suo consumo ed inibire la produzione endogena per via epatica.
Matematicamente essa (EFFICACIA DEL GLUCOSIO) si ricava da rapporto tra l'incremento del tasso di consumo del glucosio e l'incremento della concentrazione del glucosio nel plasma.
Sg = - d [dG(t)/dt] / d [G(t)] in stato stazionario
essendo valida la relazione (1) abbiamo che (escludendo il termine non espresso in funzione di G(t) ):
Sg = - d [-(p1 + X(t))*G(t)] / d [G(t)] in stato stazionario
ossia (effettuando la derivata):
Sg = p1 + X(t) in stato stazionario --> Sg = p1 = (k5 + k1)
Matematicamente essa (EFFICACIA DEL GLUCOSIO) si ricava da rapporto tra l'incremento del tasso di consumo del glucosio e l'incremento della concentrazione del glucosio nel plasma.
Sg = - d [dG(t)/dt] / d [G(t)] in stato stazionario
essendo valida la relazione (1) abbiamo che (escludendo il termine non espresso in funzione di G(t) ):
Sg = - d [-(p1 + X(t))*G(t)] / d [G(t)] in stato stazionario
ossia (effettuando la derivata):
Sg = p1 + X(t) in stato stazionario --> Sg = p1 = (k5 + k1)
INSULINO-SENSIBILITA' (Si)
Il modello ci permette anche di quantificare la capacità dell'insulina di promuovere il consumo di glucosio ed inibirne la produzione endogena.
Matematicamente essa (INSULINO SENSIBILITA' ) si ricava dal rapporto tra l'incremento dell'efficacia del glucosio e il relativo incremento di concentrazione di insulina nel plasma (insulinemia):
Si = - d [Sg] / d [I(t)] in stato stazionario
Si = - d [p1 + X(t)] / d [I(t)]
essendo possibile, in stato stazionario, riscrivere la relazione (2) come:
-p2*Xb + p3*[I(t) - Ib] = 0 --> (infatti in stato stazionario la derivata d[X(t)] è nulla perchè non c'è variazione)
allora abbiamo che:
Xb = (p3/p2)*I(t) - (p3/p2)*Ib
Derivando questo termine per I(t) il termine moltiplicato per Ib, essendo costante, scompare.
Allora:
Si = d [(p3/p2)*I(t)] / d [I(t)] = p3/p2 = (k2/k3)*(k4 + k6)
Matematicamente essa (INSULINO SENSIBILITA' ) si ricava dal rapporto tra l'incremento dell'efficacia del glucosio e il relativo incremento di concentrazione di insulina nel plasma (insulinemia):
Si = - d [Sg] / d [I(t)] in stato stazionario
Si = - d [p1 + X(t)] / d [I(t)]
essendo possibile, in stato stazionario, riscrivere la relazione (2) come:
-p2*Xb + p3*[I(t) - Ib] = 0 --> (infatti in stato stazionario la derivata d[X(t)] è nulla perchè non c'è variazione)
allora abbiamo che:
Xb = (p3/p2)*I(t) - (p3/p2)*Ib
Derivando questo termine per I(t) il termine moltiplicato per Ib, essendo costante, scompare.
Allora:
Si = d [(p3/p2)*I(t)] / d [I(t)] = p3/p2 = (k2/k3)*(k4 + k6)